KAJIAN TEOREMA PYTHAGORAS DALAM KONTEKS RUANG DIMENSI N

Aisyah, Siti Nur (2024) KAJIAN TEOREMA PYTHAGORAS DALAM KONTEKS RUANG DIMENSI N. S1 thesis, UNIVERSITAS JAMBI.

	Text ABSTRAK.pdf Download (792kB)
	Text BAB I.pdf Download (1MB)
	Text BAB V.pdf Download (137kB)
	Text COVER.pdf Download (44kB)
	Text DAFTAR PUSTAKA.pdf Download (417kB)
	Text HALAMAN PENGESAHAN.pdf Download (816kB)
	Text FULL SKRIPSI.pdf Restricted to Repository staff only Download (9MB)

Abstract

Kajian Teorema Pythagoras dalam konteks ruang dimensi N merupakan upaya untuk memperluas pemahaman Teorema Pythagoras dari ruang dimensi 2 ke ruang dengan dimensi yang lebih tinggi yaitu dimensi N, seperti yang dikaji dalam jurnal berjudul “an n-dimensional Pythagorean Theorem” oleh William J. Cook. Kajian ini mencakup penggunaan konsep-konsep dalam geometri vektor dan aljabar linear untuk menunjukkan bahwa dalam ruang dimensi N, kuadrat dari volume dimensi (n-1) dari suatu parallelotope adalah sama dengan jumlah kuadrat volume proyeksi pada koordinat hyperplanes. Penelitian dalam kajian ini melibatkan analisis teoritis dan pembuktian matematis untuk menggeneralisasi Teorema Pythagoras sehingga dapat diterapkan dalam ruang dimensi N. Penelitian ini dilakukan dengan menggunakan metodologi studi literatur yang mencakup pengumpulan data dari berbagai sumber matematika, analisis teoritis, dan pembuktian matematis menggunakan metode pembuktian langsung. Tujuan utama dari penelitian ini adalah untuk memperluas teori dan konsep geometri vektor sehingga dapat diterapkan dalam ruang dimensi tinggi, serta untuk membuktikan generalisasi ini secara matematis. Berdasarkan hasil pembahasan menunjukkan bahwa Teorema Pythagoras dapat digeneralisasi ke ruang dimensi N melalui penggunaan konsep proyeksi dan generalisasi hasil kali silang. Dalam konteks ruang dimensi 3, teorema ini menyatakan bahwa “kuadrat dari luas suatu parallelogram sama dengan jumlah kuadrat dari luas proyeksi parallelogram tersebut pada bidang koordinat”. Selanjutnya, dalam ruang dimensi N, teorema ini menyatakan bahwa “kuadrat dari volume berdimensi (n-1) dari parallelotope dalam R^n direntangkan oleh vektor w_1,w_2,…,w_(n-1)∈R^n sama dengan jumlah kuadrat volume-volume berdimensi (n-1) dari proyeksi parallelotope tersebut pada koordinat hyperplane”. Secara matematis, Teorema Pythagoras dalam ruang dimensi N dapat dinyatakan sebagai: ‖w_1×w_2×…×w_(n-1) ‖^2=∑_(i=1)^n▒(M_i )^2 Temuan ini menegaskan bahwa prinsip dasar Teorema Pythagoras tetap berlaku dan dapat diperluas dalam konteks geometris yang lebih kompleks. Dengan demikian, kajian ini tidak hanya memperluas teori matematika tetapi juga membuka peluang untuk aplikasi dalam berbagai disiplin ilmu, seperti fisika, ilmu komputer, dan matematika terapan, serta memberikan dasar yang lebih kuat untuk pendidikan matematika dalam memahami ruang berdimensi tinggi. The study of the Pythagorean Theorem in the context of N-dimensional space is an effort to expand the understanding of the Pythagorean Theorem from 2-dimensional space to higher-dimensional spaces, specifically to N dimensions, as discussed in the journal titled “An n-dimensional Pythagorean Theorem” by William J. Cook. This study encompasses the use of concepts in vector geometry and linear algebra to demonstrate that in N-dimensional space, the square of the (n-1)-dimensional volume of a parallelotope is equal to the sum of the squares of the volumes of its projections onto hyperplane coordinates. The research involves theoretical analysis and mathematical proofs to generalize the Pythagorean Theorem so that it can be applied in N-dimensional spaces. The research was conducted using a literature study methodology, which included data collection from various mathematical sources, theoretical analysis, and mathematical proof using direct proof methods. The main objective of this research is to extend the theories and concepts of vector geometry so that they can be applied in high-dimensional spaces, as well as to mathematically prove this generalization. Based on the discussion results, it shows that the Pythagorean Theorem can be generalized to N-dimensional space through the use of projection concepts and the generalization of the cross product. In the context of 3-dimensional space, this theorem states that “the square of the area of a parallelogram is equal to the sum of the squares of the areas of its projections onto the coordinate plane.” Furthermore, in N-dimensional space, the theorem states that “the square of the (n-1)-dimensional volume of a parallelotope in R^n spanned by vectors w_1,w_2,…,w_(n-1) is equal to the sum of the squares of the (n-1)-dimensional volumes of the projections of that parallelotope onto hyperplane coordinates.” Mathematically, the Pythagorean Theorem in N-dimensional space can be expressed as: ‖w_1×w_2×…×w_(n-1) ‖^2=∑_(i=1)^n▒(M_i )^2 This finding confirms that the basic principle of the Pythagorean Theorem remains valid and can be extended in more complex geometric contexts. Thus, this study not only extends mathematical theory but also opens up opportunities for applications in various disciplines, such as physics, computer science, and applied mathematics, and provides a stronger foundation for mathematics education in understanding high-dimensional spaces.

Type:	Thesis (S1)
Uncontrolled Keywords:	Teorema Pythagoras, ruang berdimensi N, proyeksi ortogonal, parallelotope, geometri vektor
Subjects:	L Education > L Education (General)
Divisions:	Fakultas Sains dan Teknologi > Matematika
Depositing User:	AISYAH
Date Deposited:	05 Dec 2024 06:55
Last Modified:	05 Dec 2024 06:56
URI:	https://repository.unja.ac.id/id/eprint/72394

Actions (login required)

View Item